Projectdetails

Veel tijdsafhankelijke modellen uit de praktijk worden beschreven door partiële differentiaalvergelijkingen. Een belangrijke klasse van modellen bezit oplossingen met gebieden waarin een hoge variatie (temperatuur, snelheden, waterhoogten, dichtheden, etc) voorkomt. Bovendien zullen deze 'steile' oplossingen van positie kunnen veranderen in de tijd. Problemen van dit type bieden uitzonderlijke uitdagingen aan numeriek wiskundigen die algoritmen trachten te ontwikkelen waarbij de benaderende oplossingen niet alleen nauwkeurig maar ook computationeel efficiënt berekend dienen te worden. In de laatste vijftien jaar zijn zogenaamde adaptieve bewegende roostermethoden (soms met 'r-verfijning' aangeduid) populair geworden voor het numeriek oplossen van dit soort modellen. Deze methoden gebruiken niet-uniforme ruimtelijke roosters, en verplaatsen het rekenrooster continu in het plaats-tijd domein, en wel zodanig dat de 'belangrijke' kenmerken van de oplossing getraceerd worden. In één ruimtedimensie zijn adaptieve bewegende roostermethoden reeds zeer succesvol gebleken (zie bijv. het softwarepakket beschreven in [4]). Echter, de 'werkelijke' modellen uit de praktijk spelen zich natuurlijk af in twee of in drie ruimtedimensies. Tot voor kort was het toepassen van r-verfijningsmethoden in meer dan één ruimtedimensie niet goed mogelijk, bijv. alleen al vanwege het feit dat de rand van het gebied op meerdere manieren behandeld kon worden, of doordat het reële gevaar dreigde dat het rooster gedegenereerd raakte, met alle bijbehorende numerieke problemen. Een degelijke en nette wiskundige onderbouwing was tot nu toe ook niet voorhanden. Zeer recent hebben enkele nieuwe ontwikkelingen plaatsgevonden die het toepassen van adaptieve bewegende roostermethoden in 2D, maar ook in 3D, wél tot een succesverhaal zouden kunnen maken. Vanuit verschillende gebieden, zowel in de numerieke wiskunde (eindige elementen/differenties, numerieke lineaire algebra) als in de zuivere wiskunde (differentiaalgeometrie), zijn interessante nieuwe ideeën uitgewerkt. De meest veelbelovende zijn methoden die gebaseerd zijn op harmonische afbeeldingen, de -deformatiemethode-, en technieken gerelateerd aan de -geometrische behoudswet-. Ondanks deze recente ontwikkelingen is men er tot nu toe nog niet in geslaagd om dit om te zetten in een gebruikersvriendelijk, robuust en efficiënt softwarepakket. Gezien de expertise in onze groep (zie Hoofdstuk 2) op het gebied van adaptieve roosters, numerieke lineaire algebra en parallelle algoritmen, en de zojuist gememoreerde nieuwe technieken, lijkt dit het juiste moment om adaptieve bewegende roostermethoden verder te gaan onderzoeken en te implementeren in het kader van een NWO-STW-project. De keuze om ons te gaan richten op niet-lineaire hyperbolische behoudswetten wordt gedreven door de vele toepassingsmogelijkheden van dit type modellen in de praktijk.

Proefschriften

• Dr. A. van Dam (2009). Go with the flow. Moving meshes and solution monitoring for compressible flow simulation. Universiteit Utrecht. promotiedatum 1-7-2009. ISBN 978-90-393-5077-5.