De Quiz van 2006 - de antwoorden - uitgebreide toelichting op vraag 13

Wat gebeurt er wanneer je een stalen kogel in de Marianentrog dumpt?

A. Hij zal steeds sneller zinken.
B. Hij zal steeds langzamer zinken.
C. Hij zal op zekere diepte blijven zweven in het water.

Uitgebreide toelichting: Het juiste antwoord is b: hij zal steeds langzamer zinken. Allereerst: wat gebeurt er als de kogel begint te vallen? In het begin is er alleen het gewicht van de kogel (mg) minus de opwaartse kracht (wet van Archimedes). Dat geeft een netto kracht naar beneden en (volgens Newton’s F = ma) dus een versnelling naar beneden. Maar zodra de snelheid toeneemt komt er een naar boven gerichte tegenkracht in werking, in de vorm van de weerstand van het water, die toeneemt naarmate de snelheid toeneemt. Er ontstaat al na een paar meter een evenwicht waarbij de totale netto kracht nul is. Er is dan (weer volgens Newton) geen versnelling meer, en de snelheid blijft constant, net zoals bij een regendruppel of een parachutist.

Bij toenemende diepte wordt het water enigszins gecomprimeerd; zijn soortelijke massa (of ‘soortelijk gewicht’) neemt toe. En dus neemt, volgens Archimedes, ook de opwaartse kracht toe. De netto kracht naar beneden wordt dus kleiner. Daardoor zal de snelheid afnemen, tot er een nieuw evenwicht bereikt is waarbij de totale netto kracht weer nul is. In feite is het nog erger, omdat ook de weerstand toeneemt. Om dat in te zien moeten we iets meer over de weerstand weten. Voor een kogel die onder zijn eigen gewicht in water valt is het stromingsprofiel turbulent (net zoals dat het geval is voor een auto of een fietser). De weerstand is dan evenredig met o.a. de soortelijke massa van het medium (water) en met het kwadraat van de snelheid. De viscositeit speelt hier geen rol. (Dat zou wél zo zijn voor heel kleine kogeltjes, ruim beneden 1 mm diameter, waarvoor de stroming laminair is. In dat geval is de weerstand evenredig met de viscositeit. Dat geldt als het ‘Reynoldsgetal’ (diameter maal snelheid maal soortelijke massa gedeeld door viscositeit) beneden ongeveer 10 ligt.)

Er zijn dus twee redenen waarom de snelheid zal afnemen: de naar beneden gerichte kracht wordt kleiner en de weerstand wordt juist groter. Overigens zou een fijnproever kunnen opmerken dat g, de versnelling van de zwaartekracht, ook niet constant is bij toenemende diepte. Dat is juist. Als de aarde homogeen van samenstalling was, neemt g af (en NIET toe; we zijn immers niet buiten de aarde maar erbinnen, zodat g afneemt naar 0 als we het centrum van de aardbol naderen). Aangezien de meeste massa echter vooral geconcentreerd is in de kern, zou g nog het eerste stuk kunnen toenemen. Dit is, hoe dan ook, een klein effect voor de diepte waarover we het hier hebben, en zal de uitkomst niet wezenlijk beïnvloeden.

Ten slotte: Ook de stalen kogel wordt een beetje samengeperst, maar omdat staal zo hard is, is dit maar ongeveer een honderdste van de compressie van water, en kunnen we dat effect wel verwaarlozen.

Referent: Jo Hermans, hoogleraar natuurkunde Universiteit van Leiden

Meer over valproblemen, van regendruppels tot en met skydivers, kan de lezer vinden in het zojuist verschenen boek ‘Hoor je beter in het donker? Antwoord op alledaagse vragen’, door Jo Hermans.